自适应神经网络控制

基本思路

自适应控制率 u∗ $u^{*}$

u∗=−1b(x)[a(x)+v]−[1εb(x)+1εb2(x)−b(x)˙2b2(x)]es $u^{*} =-\frac{1}{b( x)}[ a( x) +v] -\left[\frac{1}{\varepsilon b( x)} +\frac{1}{\varepsilon b^{2}( x)} -\frac{\dot{b( x)}}{2b^{2}( x)}\right] e_{s}$ ———— (1)

之所以这么设计的原因，一方面是基于反馈控制的基本思想，设计误差动态系统，另一方面是为了保证系统的稳定性，也就是为了使得基于误差系统的Lyapunov稳定性可以保证

误差 es $e_{s}$ 动态方程

es˙=a(x)+b(x)u+v+d(t) $\dot{e_{s}} =a( x) +b( x) u+v+d( t)$ ———— (2)
v=−y(n)d+[0 ΛT]e $v=-y^{( n)}_{d} +\left[ 0\ \Lambda ^{T}\right] e$

利用神经网络 u∗1(Z) $u^{*}_{1}( Z)$ 拟合控制 u∗ $u^{*}$

u∗=u∗1(Z)−1εes $u^{*} =u^{*}_{1}( Z) -\frac{1}{\varepsilon } e_{s}$ ———— (3)

HONN自适应控制

神经网络控制器 u1(Z) $u_{1}(Z)$

u1(Z)=W^⋅S(Z) $u_{1}(Z)=\hat{W} \cdot S( Z)$ ———— (4)

自适应律

W^˙=−Γ[S(Z)es+σW^] $\mathcal{\dot{\hat{W}} =-} \Gamma \left[ S( Z) e_{s} +\sigma \hat{W}\right]$ ———— (5)

拟合误差

u∗1(Z)=W∗⋅S(Z)+μl $u^{*}_{1}( Z) =W^{*} \cdot S( Z) +\mu _{l}$ ———— (6)
W∗⋅S(Z) $W^{*} \cdot S( Z)$表示最优网络
μl $\mu _{l}$表示拟合误差

推导误差 es $e_{s}$ 动态方程
1. 将控制(4)代入误差动态方程(2)

es˙=a(x)+b(x)W^⋅S(Z)+v+d(t) $\dot{e_{s}} =a( x) +b( x)\hat{W} \cdot S( Z) +v+d( t)$

1. 添加辅助项 b(x)u∗ $b( x) u^{*}$

   es˙=a(x)+b(x)[W^⋅S(Z)−u∗]+b(x)u∗+v+d(t) $\dot{e_{s}} =a( x) +b( x)\left[\hat{W} \cdot S( Z) - u^{*}\right] +b( x) u^{*} +v+d( t)$ ———— (7)

2. 将(6)代入

   es˙=a(x)+v+b(x)[W^⋅S(Z)−W∗⋅S(Z)−μl]+b(x)u∗+d(t) $\dot{e_{s}} =a( x) +v+b( x)\left[\hat{W} \cdot S( Z) -W^{*} \cdot S( Z) -\mu _{l}\right] +b( x) u^{*} +d( t)$
   由于 W~⋅S(Z)=W^⋅S(Z)−W∗⋅S(Z) $\tilde{W} \cdot S( Z) =\hat{W} \cdot S( Z) -W^{*} \cdot S( Z)$，则
   es˙=a(x)+v+b(x)[W~⋅S(Z)−μl]+b(x)u∗+d(t) $\dot{e_{s}} =a( x) +v+b( x)\left[\tilde{W} \cdot S( Z) -\mu _{l}\right] +b( x) u^{*} +d( t)$
   这里体现出线性神经网络的优点，便于化简

3. 将(1)代入

   由于 b(x)u∗=−[a(x)+v]−b(x)[1εb(x)+1εb2(x)−b(x)˙2b2(x)]es $b( x) u^{*} =-[ a( x) +v] -b( x)\left[\frac{1}{\varepsilon b( x)} +\frac{1}{\varepsilon b^{2}( x)} -\frac{\dot{b( x)}}{2b^{2}( x)}\right] e_{s}$，则
   es˙=b(x)[W~⋅S(Z)−μl]−b(x)[1εb(x)+1εb2(x)−b(x)˙2b2(x)]es+d(t) $\dot{e_{s}} =b( x)\left[\tilde{W} \cdot S( Z) -\mu _{l}\right] -b( x)\left[\frac{1}{\varepsilon b( x)} +\frac{1}{\varepsilon b^{2}( x)} -\frac{\dot{b( x)}}{2b^{2}( x)}\right]e_{s} +d( t)$
   es˙=b(x)[b(x)˙2b2(x)es−1εb(x)es−1εb2(x)es+W~⋅S(Z)−μl]+d(t) $\dot{e_{s}} =b( x)\left[\frac{\dot{b( x)}}{2b^{2}( x)}e_{s} -\frac{1}{\varepsilon b( x)}e_{s} -\frac{1}{\varepsilon b^{2}( x)}e_{s} +\tilde{W} \cdot S( Z) -\mu _{l}\right] +d( t)$ ———— (8)

Lyapunov方程

Vs=12[e2sb(x)+W~TΓ−1W~] $V_{s} =\frac{1}{2}\left[\frac{e^{2}_{s}}{b( x)} +\tilde{W}^{T} \Gamma \mathcal{^{-1}} \tilde{W}\right]$

稳定性证明

V˙s=es⋅e˙sb(x)−b(x)˙2b(x)e2s+W~TΓ−1W^˙ $\dot{V}_{s} =\frac{e_{s} \cdot \dot{e}_{s}}{b( x)} -\frac{\dot{b( x)}}{2b( x)} e^{2}_{s} +\tilde{W}^{T} \Gamma \mathcal{^{-1}\dot{\hat{W}}}$

将(5)(8)代入，得

V˙=es[b(x)˙2b2(x)es−1εb(x)es−b(x)˙2b(x)e2s+W~⋅S(Z)−μl]+es⋅d(t)b(x)−e2sb(x)˙2b2(x)+ $\dot{V}=e_{s}\left[\frac{\dot{b( x)}}{2b^{2}( x)}e_{s} -\frac{1}{\varepsilon b( x)}e_{s} -\frac{\dot{b( x)}}{2b( x)} e^{2}_{s} +\tilde{W} \cdot S( Z) -\mu _{l}\right] +e_{s} \cdot \dfrac{d( t)}{b( x)} -e^{2}_{s}\frac{\dot{b( x)}}{2b^{2}( x)} +$
        W~TΓ−1[−Γ[S(z)es+σW^]] $\ \ \ \ \ \ \ \ \tilde{W}^{T} \Gamma \mathcal{^{-1}\left[ - \Gamma \left[ S( z) e_{s} +\sigma \hat{W}\right]\right]}$
V˙=e2s(−1εb(x)−1εb2(x))−esμl+es⋅d(t)b(x)−W~TσW^ $\dot{V} =e^{2}_{s}\left( -\frac{1}{\varepsilon b( x)} -\frac{1}{\varepsilon b^{2}( x)}\right) -e_{s} \mu _{l} +e_{s} \cdot \dfrac{d( t)}{b( x)} -\tilde{W}^{T}\mathcal{\sigma \hat{W}}$ ———— (9)

补充说明1

Lyapunov稳定性证明可以分为两种思路
第一直接设计的控制率使得 V˙<0 $\dot{V} &lt; 0$
第二构造形如 V˙<V+β(x) $\dot{V} &lt; V+\beta ( x)$

补充说明2

控制率和自适应律的设计也分为两部分
第一部分为了消除Lyapunov中的某些项
第二部分是为了满足稳定性条件，此部分有两种思路，第一种为了满足 V˙<0 $\dot{V} &lt; 0$ ，第二种是为了构造 V ${V}$ ，使得 V˙<V+β(x) $\dot{V} &lt; V+\beta ( x)$ 的条件满足

从化简的过程可以出来
(5)自适应律的设计分为两部分，第一部分 S(z)es $S( z) e_{s}$ 是为了抵消Lyapunov V˙ $\dot{V}$的非线性项，第二部分 σW^ $\sigma \hat{W}$ 是为了构造 V $V$

再对(9)继续化简之前，需要考虑以下不等式

$2ab\leq a^{2} +b^{2}$
2aε(εb)≤(aε)2+(εb)2 $2\dfrac{a}{\varepsilon }( \varepsilon b) \leq \left(\dfrac{a}{\varepsilon }\right)^{2} +( \varepsilon b)^{2}$

---

Lyapunov方程中的项采用如下不等式进行化简

2W~TW^=∥∥W~∥∥2+∥∥W^∥∥2−∥W∗∥2≥∥∥W~∥∥2−∥W∗∥2 $2\tilde{W}^{T}\mathcal{\hat{W} =} \left\Vert \tilde{W}\right\Vert ^{2} +\left\Vert \mathcal{\hat{W}} \right\Vert ^{2} -\left\Vert W^{*}\right\Vert ^{2} \geq \left\Vert \tilde{W}\right\Vert ^{2} -\left\Vert W^{*}\right\Vert ^{2}$
d(t)b(x)es=esb(x)⎛⎝⎜⎜1ε2√⎞⎠⎟⎟⋅(ε2−−√d(t))≤12⎡⎣⎢⎢esb(x)⎛⎝⎜⎜1ε2√⎞⎠⎟⎟⎤⎦⎥⎥2+12(ε2−−√d(t))2 $\dfrac{d( t)}{b( x)} e_{s} =\dfrac{e_{s}}{b( x)}\left(\frac{1}{\sqrt{\dfrac{\varepsilon }{2}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\dfrac{\varepsilon }{2}} d( t)\right) \leq \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{e_{s}}{b( x)}\left(\frac{1}{\sqrt{\dfrac{\varepsilon }{2}}}\right)\right]^{2} +\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{\varepsilon }{2}} d( t)\right)^{2}$
            =e2sεb2(x)+ε4d2(t) $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{e^{2}_{s}}{\varepsilon b^{2}( x)} +\dfrac{\varepsilon }{4} d^{2}( t)$
|μles|≤e2s2εb(x)+ε2μ2lb(x) $| \mu _{l} e_{s}| \leq \dfrac{e^{2}_{s}}{2\varepsilon b( x)} +\dfrac{\varepsilon }{2} \mu ^{2}_{l} b( x)$
|μl|≤μ0 $| \mu _{l}| \leq \mu _{0}$
|dt|≤d0  $|d_{t}| \leq d_{0} \ $
0<b(x)<b1 $0&lt; b( x) &lt; b_{1}$

因此Lyapunov方程可以化简为

V˙≤−e2s2εb2(x)+ε2μ20b1+ε4d20−σ2∥∥W~∥∥2+σ2∥W∗∥2 $\dot{V} \leq -\frac{e^{2}_{s}}{2\varepsilon b^{2}( x)} +\dfrac{\varepsilon }{2} \mu ^{2}_{0} b_{1} +\dfrac{\varepsilon }{4} d^{2}_{0} -\dfrac{\sigma }{2}\left\Vert \tilde{W}\right\Vert ^{2} +\dfrac{\sigma }{2}\left\Vert W^{*}\right\Vert ^{2}$

对于该Lyapunov方程的处理我们采用构造 V˙<V+β(x) $\dot{V} &lt; V+\beta ( x)$ 的方式进行稳定性证明
再进一步处理之前，我们需要利用如下不等式对Lyapunov函数 Vs ${V}_{s}$ 进行变换

W~TΓ−1W~≤λmax∥∥W~∥∥2 $\tilde{W}^{T} \Gamma \mathcal{^{-1}} \tilde{W} \leq \lambda _{max}\left\Vert \tilde{W}\right\Vert ^{2}$
−σ2∥∥W~∥∥2≤−σ2W~TΓ−1W~λmax $-\dfrac{\sigma }{2}\left\Vert \tilde{W}\right\Vert ^{2} \leq -\dfrac{\sigma }{2}\dfrac{\tilde{W}^{T} \Gamma \mathcal{^{-1}} \tilde{W}}{\lambda _{max}}$

则 V˙ $\dot{V}$ 可以转化为

V˙≤−e2s2εb2(x)−σ2W~TΓ−1W~λmax+ε2μ20b1+ε4d20+σ2∥W∗∥2 $\dot{V} \leq -\frac{e^{2}_{s}}{2\varepsilon b^{2}( x)} -\dfrac{\sigma }{2}\dfrac{\tilde{W}^{T} \Gamma \mathcal{^{-1}} \tilde{W}}{\lambda _{max}} +\dfrac{\varepsilon }{2} \mu ^{2}_{0} b_{1} +\dfrac{\varepsilon }{4} d^{2}_{0} +\dfrac{\sigma }{2}\left\Vert W^{*}\right\Vert ^{2}$

假设

α0=max{ε,λmaxσ} $\alpha _{0} =max\left\{\varepsilon ,\dfrac{\lambda _{max}}{\sigma }\right\}$
σ0=ε2μ20b1+ε4d20+σ2∥W∗∥2 $\sigma _{0} =\dfrac{\varepsilon }{2} \mu ^{2}_{0} b_{1} +\dfrac{\varepsilon }{4} d^{2}_{0} +\dfrac{\sigma }{2}\left\Vert W^{*}\right\Vert ^{2}$

则

V˙≤−1α0V+12σ0 $\dot{V} \leq -\dfrac{1}{\alpha _{0}} V+\dfrac{1}{2\sigma _{0}}$