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神经网络前向传播 & 反向传播

梯度消失和梯度爆炸

神经网络的训练过程通常分为两个阶段： 前向传播和 反向传播。“前向传播”求损失，“反向传播”回传误差。本文的记号说明如下：

$n_l：第\ l\ 层神经元的个数；$
$f(\cdot)：神经元的激活函数；$
$W^{(l)}\in R^{n_{l-1}\times n_l}：第\ l-1\ 层到第\ l\ 层的权重矩阵；$
$w_{ij}^{[l]}：第\ l-1\ 层的第\ i\ 个神经元到第\ l\ 层的第\ j\ 个神经元的权重；$
$X^{(k)}=(x_1^{[k]},x_2^{[k]},\ \cdots,x_{n_1}^{[k]})^T\in R^{n_1}：表示第\ k\ 个样本输入；$
$Y^{(k)}=(y_1^{[k]},y_2^{[k]},\ \cdots,y_{n_l}^{[k]})^T\in R^{n_1}：表示第\ k\ 个样本输出；$
$B^{(l)}=(b_1^{[l]},b_2^{[l]},\ \cdots,b_{n_l}^{[l]})^T\in R^{n_l}：表示第\ l-1\ 层到第\ l\ 层的偏置；$
$Z^{(l)}=(z_1^{[l]},z_2^{[l]},\ \cdots,z_{n_l}^{[l]})^T\in R^{n_l}：表示第\ l\ 层神经元的状态；$
$A^{(l)}=(a_1^{[l]},a_2^{[l]},\ \cdots,a_{n_l}^{[l]})^T\in R^{n_l}：表示第\ l\ 层神经元的激活值（即输出值）。$

1. 信息前向传播

$\qquad$

2. 误差反向传播

$\qquad$ 一文读懂梯度下降法）
$\qquad$

$\qquad$

$\displaystyle Loss^{(k)}=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}(o_j^{[k]}-y_j^{[k]})^2=\frac{1}{2}\left[(o_1^{[k]}-y_1^{[k]})^2+(o_2^{[k]}-y_2^{[k]})^2\right]=\frac{1}{2}\left[(o_1^{[k]}-a_1^{[3]})^2+(o_2^{[k]}-a_2^{[3]})^2\right]\\\qquad\qquad\qquad$

2. 输出层 $\Rightarrow$

$\displaystyle Loss^{(k)}=\frac{1}{2}\left[(o_1^{[k]}-a_1^{[3]})^2+(o_2^{[k]}-a_2^{[3]})^2\right]=\frac{1}{2}\left[(o_1^{[k]}-f(z_1^{[3]}))^2+(o_2^{[k]}-f(z_2^{[3]}))^2\right]\\=\frac{1}{2}\left[\big(o_1^{[k]}-f(w_{11}^{[3]}a_1^{[2]}+w_{21}^{[3]}a_2^{[2]}+w_{31}^{[3]}a_3^{[2]}+b_1^{[3]})\big)^2+\big(o_2^{[k]}-f(w_{12}^{[3]}a_1^{[2]}+w_{22}^{[3]}a_2^{[2]}+w_{32}^{[3]}a_3^{[2]}+b_2^{[3]})\big)^2\right]$

$根据根据链式求导法则，对于 o u t p u t l a y e r 的权重参数 w i j [ 3 ] 求偏导，可得：对于\ output\ layer\ 的权重参数\ w_{ij}^{[3]}\ 求偏导，可得：$

$\qquad\displaystyle \frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial w_{11}^{[3]}}=\frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial f(z_1^{[3]})}\cdot\frac{\partial f(z_1^{[3]})}{\partial z_1^{[3]}}\cdot\frac{\partial z_1^{[3]}}{\partial w_{11}^{[3]}}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\big(o_1^{[k]}-f(z_1^{[3]})\big)\cdot(-1)\cdot f'(z_1^{[3]})\cdot\frac{\partial z_1^{[3]}}{\partial w_{11}^{[3]}}=-\big(o_1^{[k]}-f(z_1^{[3]})\big)\cdot f'(z_1^{[3]})\cdot a_1^{[2]}$

$\qquad\displaystyle \frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial w_{12}^{[3]}}=\frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial f(z_2^{[3]})}\cdot\frac{\partial f(z_2^{[3]})}{\partial z_2^{[3]}}\cdot\frac{\partial z_2^{[3]}}{\partial w_{12}^{[3]}}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot(o_2^{[k]}-f(z_2^{[3]}))\cdot(-1)\cdot f'(z_2^{[3]})\cdot\frac{\partial z_2^{[3]}}{\partial w_{12}^{[3]}}=-\big(o_2^{[k]}-f(z_2^{[3]})\big)\cdot f'(z_2^{[3]})\cdot a_1^{[2]}$

$\qquad\displaystyle \frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial b_1^{[3]}}=\frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial f(z_1^{[3]})}\cdot\frac{\partial f(z_1^{[3]})}{\partial z_1^{[3]}}\cdot\frac{\partial z_1^{[3]}}{\partial b_1^{[3]}}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\big(o_1^{[k]}-f(z_1^{[3]})\big)\cdot(-1)\cdot f'(z_1^{[3]})\cdot1=-\big(o_1^{[k]}-f(z_1^{[3]})\big)\cdot f'(z_1^{[3]})$

$\qquad如果我们把\ \displaystyle \frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial z_j^{[l]}}\ 记作\ \delta_j^{[l]}$

3. 隐藏层 $\Rightarrow$

3.1 隐藏层 $\Rightarrow$

$\qquad根据$

$\displaystyle \frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial w_{ij}^{[l]}}=\frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial z_j^{[l]}}\cdot\frac{\partial z_j^{[l]}}{\partial w_{ij}^{[l]}}=\delta_j^{[l]}\cdot\frac{\partial z_j^{[l]}}{\partial w_{ij}^{[l]}}=\delta_j^{[l]}\cdot a_i^{[l-1]}$

$\qquad\displaystyle如图所示，当\ 2\leq l\leq L-1时：\quad\delta_i^{[l]}=\frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial z_i^{[l]}}=\sum_{j=1}^{n_{l+1}}\frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial z_j^{[l+1]}}\cdot\frac{\partial z_j^{[l+1]}}{\partial z_i^{[l]}}=\sum_{j=1}^{n_{l+1}}\delta_j^{[l+1]}\cdot\frac{\partial z_j^{[l+1]}}{\partial z_i^{[l]}}$

$\qquad由于\displaystyle\ z_j^{[l+1]}=\sum_{i=1}^{n_l} w_{ij}^{[l+1]}a_j^{[l]}+b_j^{[l+1]}=\sum_{i=1}^{n_l} w_{ij}^{[l+1]}f(z_j^{[l]})+b_j^{[l+1]}，所以有\ \frac{\partial z_j^{[l+1]}}{\partial z_i^{[l]}}=\frac{\partial z_j^{[l+1]}}{\partial a_i^{[l]}}\cdot\frac{\partial a_i^{[l]}}{\partial z_i^{[l]}}=w_{ij}^{[l+1]}\cdot f'(z_i^{[l]})，代入到前面的\ \delta_i^{[l]}\ 可得：\displaystyle\delta_i^{[l]}=\left(\sum_{j=1}^{n_{l+1}}\delta_j^{[l+1]}\cdot w_{ij}^{[l+1]}\right)\cdot f'(z_i^{[l]})$

$\qquad上式是反向传播算法最核心的算法，它使用第\ l+1\ 层的\ \pmb{\delta^{[l+1]}}\ 来计算\ l\ 层的\ \pmb{\delta^{[l]}}，这就是$

3.2 隐藏层 $\Rightarrow$

$\displaystyle\frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial b_j^{[l]}}=\frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial z_j^{[l]}}\cdot\frac{\partial z_j^{[l]}}{\partial b_j^{[l]}}=\delta_j^{[l]}\cdot(1)=\delta_j^{[l]}\\对应的矩阵（向量）形式：\nabla_{B^{(l)}}Loss^{(k)}=\pmb{\delta^{(l)}}$

4. 反向神经网络的 4 个核心公式

普通形式	矩阵（向量）形式
$\displaystyle\delta_j^{(L)}=-\big(o_j^{[k]}-f(z_j^{[L]})\big)\cdot f'(z_j^{[L]})$	$\displaystyle\pmb{\delta^{(L)}}=-\big(Y-f(Z^{[L]})\big)\odot f'(Z^{[L]})$
$\displaystyle\delta_i^{[l]}=\left(\sum_{j=1}^{n_{l+1}}\delta_j^{[l+1]}\cdot w_{ij}^{[l+1]}\right)\cdot f'(z_i^{[l]})$	$\displaystyle\pmb{\delta^{(l)}}=\big((W^{(l+1)})^T\cdot\pmb{\delta^{(l+1)}}\big)\odot f(Z^{(l)})$
$\displaystyle\frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial w_{ij}^{[l]}}=\delta_j^{[l]}\cdot a_i^{[l-1]}$	$\nabla_{W^{(L)}}Loss=\pmb{\delta^{(L)}}\cdot\big(A^{(L-1)}\big)^T$
$\displaystyle\frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial b_j^{[l]}}=\delta_j^{[l]}$	$\nabla_{B^{(l)}}Loss^{(k)}=\pmb{\delta^{(l)}}$

5. 总结

$\qquad反向传播算法计算某个训练数据的代价函数对参数的偏导数的具体步骤总结如下：$

初始化参数 $W , B W,B \qquad 一般地，把 w i j ( l ) , b j ( l ) , ( 2 ≤ l ≤ L ) w_{ij}^{(l)},b_j^{(l)},(2\leq l\leq L)$
利用下面的“前向传播”公式计算每层的状态和激活值：
$Z^{(l)}=W^{(l)}A^{(l-1)}+B^{{l}}\\A^{(l)}=f(Z^{(l)})$
计算 $\pmb{\delta^{(l)}}$
计算训练数据的代价函数对参数的偏导数：
$\displaystyle\frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial w_{ij}^{[l]}}=\delta_j^{[l]}\cdot a_i^{[l-1]}\\\displaystyle\frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial b_j^{[l]}}=\delta_j^{[l]}$
梯度下降法（批量梯度下降法）更新参数：
$\displaystyle W^{(l)}=W^{(l)}-lr\cdot\frac{\partial L_{total}}{\partial W^{(l)}}=W^{(l)}-\frac{lr}{N}\cdot\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial W^{(l)}}\\B^{(l)}=B^{(l)}-lr\cdot\frac{\partial L_{total}}{\partial B^{(l)}}=B^{(l)}-\frac{lr}{N}\cdot\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial Loss^{(k)}}{\partial B^{(l)}}\\（lr\ 为学习率）$

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