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由小波变换模极大值重建信号

给定信号x(t) \in L^2(R)，

令小波变换的尺度a=2^j,j\in Z

则x(t)的二进小波变换为WT_x(j, t)

令(t_{j, n})_{n \in Z}为WT_{x}(j, t)取模极大值时的横坐标，那么|WT_{x}(j, t_{j, n})|就是模极大值。

目标是由坐标(t_{j, n})_{n\in Z}、模极大值|WT_{x}(j, t_{j, n})|及最后一级的低频分量a_{J}(t)重建信号x(t)

为了重建x(t)，假定有一信号集合h(t)，该集合中信号的小波变换和x(t)的小波变换具有相同的模极大值。希望在某一准则下在h(t)中选取一个信号来最佳地近似x(t)。

记h(t)的小波变换为WT_h(j, t)，则对WT_h(j, t)的制约条件有：

（1）对应每一个尺度j，在所有的模极大值横坐标(t_{j,n})_{n\in Z}处，都应有|WT_h(j, t_{j, n})| = |WT_{x}(j, t_{j, n})|

<h(t), \psi_j(t_{j, n}-t)>=<x(t), \psi_j(t_{j, n}-t)>

（2）对应每一个尺度j，WT_{h}(j, t)的局部极值都应位于模极大值横坐标(t_{j, n})_{n\in Z}处

对于条件（1），设U是希尔伯特空间L^2(R)中的一个子空间，并假定U是由一组函数\psi_j(t_{j, n}-t)所张成的。那么，h(t)在U上的正交投影应该等于x(t)在U上的正交投影。

令O是U的正交补空间，则U \bigoplus O = L^2(R)，h(t) = x(t) + g(t),g(t)\in O

对于条件（2），

交替投影法

V：L^2(R)上所有信号的二进小波变换所组成的空间

K：序列g_j(t)所组成的空间，g_j(t)满足：

 

\Gamma：空间K上的一个闭包，