卷积是数学分析中的一种积分变换的方法，在图像处理中采用的是卷积的离散形式。这里需要说明的是，在卷积神经网络中，卷积层的实现方式实际上是数学中定义的互相关 （cross-correlation）运算，与数学分析中的卷积定义有所不同，这里跟其他框架和卷积神经网络的教程保持一致，都使用互相关运算作为卷积的定义，具体的计算过程如 图 所示。

虽然卷积层得名于卷积（convolution） 运算，但我们通常在卷积层中使用更加直观的互相关（cross-correlation） 运算。在二维卷积层中，一个二维输入数组和一个二维核（kernel）数组通过互相关运算输出一个二维数组。我们用一个具体的例子来解释二维互相关运算的含义。如上图所示。

卷积核（kernel）也被叫做滤波器（filter），假设卷积核的高和宽分别为 k h k_h kh​和 k w k_w kw​，则将称为 k h × k w k_h \times k_w kh​×kw​卷积，比如 3 × 5 3 \times 5 3×5卷积，就是指卷积核的高为3，宽为5。

• 如上图（a）所示：左边的图大小是 3 × 3 3 \times 3 3×3，表示输入数据是一个维度为 3 × 3 3\times3 3×3的二维数组；中间的图大小是 2 × 2 2\times2 2×2，表示一个维度为 2 × 2 2\times2 2×2的二维数组，我们将这个二维数组称为卷积核。先将卷积核的左上角与输入数据的左上角(即：输入数据的(0,0)位置)对齐，把卷积核的每个元素跟其位置对其的输入数据中的元素相乘，再把卷积相加，得到卷积输出的第一个结果：

                   0 × 1 + 1 × 2 + 2 × 4 + 3 × 5 = 25 0\times1 + 1\times2 + 2\times4 + 3\times5 = 25 0×1+1×2+2×4+3×5=25  (a)

图中( b ), ( c ) ,(d )计算方法与上面雷同，相信聪明的大家不需要我再过多演示。

卷积核的计算过程可以用下面的数学公式表示，其中 a a a代表输入图片， b b b代表输出特征图， w w w是卷积核参数，它们都是二维数组。

                       b [ i , j ] = ∑ u , v a [ i + u , j + v ] ⋅ w [ u , v ] b[i,j] =\displaystyle \sum_{u,v}a[i + u, j+v]\cdot w[u,v] b[i,j]=u,v∑​a[i+u,j+v]⋅w[u,v]

举例说明，加入上图中卷积核大小是 2 × 2 2\times2 2×2，则 u u u可以取0和1， v v v也可以取0和1，也就是说：

   b [ i , j ] = a [ i + 0 , j + 0 ] ⋅ w [ 0 , 0 ] + a [ i + 0 , j + 1 ] ⋅ w [ 0 , 1 ] + a [ i + 1 , j + 0 ] ⋅ w [ 1 , 0 ] + a [ i + 1 , j + 1 ] ⋅ w [ 1 , 1 ] b[i,j] = a[i+0,j+0]\cdot w[0,0] + a[i+0,j+1]\cdot w[0,1] + a[i+1,j+0]\cdot w[1,0] +a[i+1,j+1]\cdot w[1,1] b[i,j]=a[i+0,j+0]⋅w[0,0]+a[i+0,j+1]⋅w[0,1]+a[i+1,j+0]⋅w[1,0]+a[i+1,j+1]⋅w[1,1]

我们可以验证一下它的正确性，当 [ i , j ] [i,j] [i,j]取不同值的时候，根据此公式计算的结果与上图的例子是否一致。

补充：
在卷积神经网络中，一个卷积算子除了上面描述的卷积过程之外，还包括加上偏置项的操作。例如假设偏置为1，则上面卷积计算的结果为：
0 × 1 + 1 × 2 + 2 × 4 + 3 × 5 + 1 = 26 0\times1+1\times2+2\times4+3\times5 +1=26 0×1+1×2+2×4+3×5+1=26

0 × 2 + 1 × 3 + 2 × 5 + 3 × 6 + 1 = 32 0\times2+1\times3+2\times5+3\times6 +1=32 0×2+1×3+2×5+3×6+1=32

0 × 4 + 1 × 5 + 2 × 7 + 3 × 8 + 1 = 44 0\times4+1\times5+2\times7+3\times8 +1=44 0×4+1×5+2×7+3×8+1=44

0 × 5 + 1 × 6 + 2 × 8 + 3 × 9 + 1 = 50 0\times5+1\times6+2\times8+3\times9 +1=50 0×5+1×6+2×8+3×9+1=50

学完知识后，我们来做一道题进行下练习，帮助我们充分掌握卷积的运算。
题目：计算卷积中一共有多少次乘法和加法操作
输入数据形状是 [ 10 , 3 , 224 , 224 ] [10,3,224,224] [10,3,224,224],卷积核 k h = k w = 3 k_h = k_w = 3 kh​=kw​=3,输出通道数为64，步幅 s t r i d e = 1 stride=1 stride=1，填充 p h = p w = 1 p_h=p_w=1 ph​=pw​=1。
则完成这样一个卷积，一共需要做多少次乘法和加法操作？

• 提示
  先看输出一个像素点需要做多少次乘法和加法操作，然后再计算总共需要的操作次数。

做题步骤：

1. 先考虑只有一个输入通道时候的二维卷积：
   假设输出是B，输入是A，先计算B的一个像素点，
   
   其中，一共有9个乘法，8个加法操作。
   但是一般我们输入的图片都是RGB三通道的，所以我们需要计算每个通道 B 00 ( c = 0 ) , B 00 ( c = 1 ) , B 00 ( c = 2 ) B^{(c=0)}_{00},B^{(c=1)}_{00},B^{(c=2)}_{00} B00(c=0)​,B00(c=1)​,B00(c=2)​，总共的乘法操作次数为 3 × 9 = 27 3\times9=27 3×9=27,加法操作次数为 3 × 8 = 24 3\times8=24 3×8=24次。

2. 然后再将这些输入通道的数值相加，并且加上偏置参数 b b b
   B 00 = B 00 ( c = 0 ) + B 00 ( c = 1 ) + B 00 ( c = 2 ) + b B_{00}=B^{(c=0)}_{00}+B^{(c=1)}_{00}+B^{(c=2)}_{00}+b B00​=B00(c=0)​+B00(c=1)​+B00(c=2)​+b
   由于需要额外引入3次加法操作，所以最后总的加法操作次数是 24 + 3 = 27 24+3=27 24+3=27
   由此可得计算出一个像素点需要乘法操作次数是27，加法操作次数也是27。

3. 输出特征图的大小是 [ 10 , 64 , 224 , 224 ] [10,64,224,224] [10,64,224,224]，则总共需要乘法操作次数是：
   27 × 10 × 64 × 224 × 224 = 867041280 27\times10\times64\times224\times224=867041280 27×10×64×224×224=867041280
   加法操作次数和乘法操作次数相同都是867041280。