CART 全称为 Classification And Regression Trees，即分类回归树。顾名思义，该算法既可以用于分类还可以用于回归。

克服了 ID3 算法只能处理离散型数据的缺点，CART 可以使用二元切分来处理连续型变量。二元切分法，即每次把数据集切分成两份，具体地处理方法是：如果特征值大于给定值就走左子树，否则就走右子树。对 CART 稍作修改就可以处理回归问题。先前我们使用香农熵来度量集合的无组织程度，如果选用其它方法来代替香农熵，就可以使用树构建算法来完成回归。

与ID3决策树及C4.5决策树一样，CART是决策树的一种，主要由特征选择，树的生成和剪枝三部分组成。它主要用来处理分类和回归问题，下面对分别对其进行介绍。

本部分将构建两种树，第一种是分类树；第二种是回归树。

CART分类树使用基尼指数最小化准则来选择最佳属性。

ID3算法使用了信息增益来选择特征，信息增益大的优先选择。C4.5算法采用了信息增益比来选择特征，以减少信息增益容易选择特征值多的特征的问题。但是无论是ID3还是C4.5，都是基于信息论的熵模型的，这里面会涉及大量的对数运算。因此，我们希望有一种方法简化模型同时又不至于完全丢失熵模型的优点，这就是基尼系数。CART分类树算法使用基尼系数来代替信息增益比，基尼系数代表了模型的不纯度，基尼系数越小，则不纯度越低，特征越好。这和信息增益(比)是相反的。

在分类问题中，假设有K个类别，第k个类别的概率为 p k p_k pk​, 则基尼系数的表达式为：
G i n i ( p ) = ∑ k = ∑ k = 1 K p k ( 1 − p k ) = 1 − ∑ k = 1 K p k 2 Gini(p)=∑k=\sum_{k=1}^{K}p_k(1−p_k)=1-\sum_{k=1}^{K}p^2_k Gini(p)=∑k=k=1∑K​pk​(1−pk​)=1−k=1∑K​pk2​

如果是二类分类问题，计算就更加简单了，如果属于第一个样本输出的概率是p，则基尼系数的表达式为：
G i n i ( p ) = 2 p ( 1 − p ) Gini(p)=2p(1−p) Gini(p)=2p(1−p)

对于个给定的样本D,假设有K个类别, 第k个类别的数量为 C k C_k Ck​,则样本D的基尼系数表达式为：
G i n i ( D ) = 1 − ∑ k = 1 K ( ∣ C k ∣ ∣ D ∣ ) 2 Gini(D)=1-\sum_{k=1}^{K}(\frac{|C_k|}{|D|})^2 Gini(D)=1−k=1∑K​(∣D∣∣Ck​∣​)2

特别的，对于样本D,如果根据特征A的某个值a,把D分成D1和D2两部分，则在特征A的条件下，D的基尼系数表达式为：
G i n i ( D , A ) = ∣ D 1 ∣ ∣ D ∣ G i n i ( D 1 ) + ∣ D 2 ∣ ∣ D ∣ G i n i ( D 2 ) Gini(D,A)=\frac{|D_1|}{|D|}Gini(D_1)+\frac{|D_2|}{|D|}Gini(D_2) Gini(D,A)=∣D∣∣D1​∣​Gini(D1​)+∣D∣∣D2​∣​Gini(D2​)

其中：

• Gini(D)：表示集合D的不确定性。
• Gini(A,D)：表示经过A=a分割后的集合D的不确定性。

对比基尼系数表达式和熵模型的表达式，二次运算要比对数简单很多，尤其是二类分类的计算，更加简单。但是简单归简单，和熵模型的度量方式比，基尼系数对应的误差有多大呢？对于二类分类，基尼系数和熵之半的曲线如下：

　从上图可以看出，基尼系数和熵之半的曲线非常接近，仅仅在45度角附近误差稍大。因此，基尼系数可以做为熵模型的一个近似替代。而CART分类树算法就是使用的基尼系数来选择决策树的特征。同时，为了进一步简化，CART分类树算法每次仅仅对某个特征的值进行二分，而不是多分，这样CART分类树算法建立起来的是二叉树，而不是多叉树。这样一可以进一步简化基尼系数的计算，二可以建立一个更加优雅的二叉树模型。

算法从根节点开始，用训练集递归的建立CART树。

• 1）对于当前节点的数据集为D，如果样本个数小于阈值或者没有特征，则返回决策子树，当前节点停止递归。
• 2）计算样本集D的基尼系数，如果基尼系数小于阈值，则返回决策树子树，当前节点停止递归。
• 3）计算当前节点现有的各个特征的各个特征值对数据集D的基尼系数。
• 4）在计算出来的各个特征的各个特征值对数据集D的基尼系数中，选择基尼系数最小的特征A和对应的特征值a。根据这个最优特征和最优特征值，把数据集划分成两部分D1和D2，同时建立当前节点的左右节点，做节点的数据集D为D1，右节点的数据集D为D2.
• 5）对左右的子节点递归的调用1-4步，生成决策树。

对于生成的决策树做预测的时候，假如测试集里的样本A落到了某个叶子节点，而节点里有多个训练样本。则对于A的类别预测采用的是这个叶子节点里概率最大的类别。

1）、连续特征的处理

对于CART分类树连续值的处理问题，其思想和C4.5是相同的，都是将连续的特征离散化。唯一的区别在于在选择划分点时的度量方式不同，C4.5使用的是信息增益比，则CART分类树使用的是基尼系数。

具体的思路如下，比如m个样本的连续特征A有m个，从小到大排列为 a 1 , a 2 , . . . , a m a_1,a_2,...,a_m a1​,a2​,...,am​,则CART算法取相邻两样本值的平均数，一共取得m-1个划分点，其中第i个划分点 T i T_i Ti​表示为： T i = a i + a ( i + 1 ) 2 Ti=\frac{a_i+a_{(i+1)}}{2} Ti=2ai​+a(i+1)​​。对于这m-1个点，分别计算以该点作为二元分类点时的基尼系数。选择基尼系数最小的点作为该连续特征的二元离散分类点。比如取到的基尼系数最小的点为 a t a_t at​,则小于 a t a_t at​的值为类别1，大于 a t a_t at​的值为类别2，这样我们就做到了连续特征的离散化。要注意的是，与ID3或者C4.5处理离散属性不同的是，如果当前节点为连续属性，则该属性后面还可以参与子节点的产生选择过程。

2)、离散特征处理

对于CART分类树离散值的处理问题，采用的思路是不停的二分离散特征。

在ID3或者C4.5，如果某个特征A被选取建立决策树节点，如果它有A1,A2,A3三种类别，我们会在决策树上一下建立一个三叉的节点。这样导致决策树是多叉树。但是CART分类树使用的方法不同，他采用的是不停的二分，还是这个例子，CART分类树会考虑把A分成{A1}和{A2,A3}, {A2}和{A1,A3}, {A3}和{A1,A2}三种情况，找到基尼系数最小的组合，比如{A2}和{A1,A3},然后建立二叉树节点，一个节点是A2对应的样本，另一个节点是{A1,A3}对应的节点。同时，由于这次没有把特征A的取值完全分开，后面我们还有机会在子节点继续选择到特征A来划分A1和A3。这和ID3或者C4.5不同，在ID3或者C4.5的一棵子树中，离散特征只会参与一次节点的建立。

CART回归树使用平方误差最小准则。

训练回归树其实和训练分类树没有本质不同，也是自上而下，不断分裂节点的过程。不同之处在于对节点分裂的分裂准则和分裂值的选择方法上。我下面将一步步推导回归树的构建算法。

设有训练数据集 D = { ( X 1 , y 1 ) , ( X 2 , y 2 ) , … , ( X n , y n ) } D=\{(X_1,y_1),(X_2,y_2),…,(X_n,y_n)\} D={(X1​,y1​),(X2​,y2​),…,(Xn​,yn​)}。我们知道决策树最终将数据元组划分到了多个叶子节点中，比如分类树的每个叶子就有一个类标号，作为元组的预测类。回归树的思路类似，我将数据空间划分成了mm个区域 { R 1 , R 2 , … , R m } \{R_1,R_2,…,R_m\} {R1​,R2​,…,Rm​}，实际上就是将训练元组的分区。然后赋给每个区域有一个固定的代表值 C i C_i Ci​（类似于分类树中的类标号），这样，回归树的模型可以表示成r如下公式的形式：
f ( X ) = ∑ i = 1 m C i I ( X ∈ R i ) f(X)=\sum_{i=1}^{m}C_iI(X \in R_i) f(X)=i=1∑m​Ci​I(X∈Ri​)

其中 I ( X ∈ R i ) = 1 I(X∈R_i)=1 I(X∈Ri​)=1，如果 X ∈ R i X∈R_i X∈Ri​；否则， I ( X ∈ R i ) = 0 I(X∈R_i)=0 I(X∈Ri​)=0。这么看来，上式的含义是：先判断X属于哪个区域，然后返回这个区域的代表值。

这样，我们可以写出对于某个区域Ri回归模型的损失函数：
J ( C ) = ∑ X j ∈ R i ( f ( X j ) − g i ) 2 J(C)=\sum_{X_j \in R_i}(f(X_j)-g_i)^2 J(C)=Xj​∈Ri​∑​(f(Xj​)−gi​)2

其中， g i g_i gi​为这个区域的代表值（这里用 g i g_i gi​而不用 C i C_i Ci​的原因是我要表达 g i g_i gi​是分裂中间的某个区域的代表值，而 C i C_i Ci​为最终完成分裂之后的叶子节点的代表值）， g i g_i gi​的计算方法一般是这个区域中的元组的y值的均值（取均值时，损失函数达到最优）。
g i = 1 N i ∑ X j ∈ R i y i g_i=\frac{1}{N_i}\sum_{X_j \in R_i}y_i gi​=Ni​1​Xj​∈Ri​∑​yi​

其中， N i N_i Ni​为这个区域内数据元组的总数。初始时，所有的数据元组都在一个区域内，我们按照 J ( C ) J(C) J(C)计算损失函数，如果计算得到的误差值太大，不能满足要求，则寻找最佳的分裂准则（属性）和分裂值将数据集一分为二。这里的关键在于怎样的分裂准则和分裂值对于回归树来说是最佳的。其实很明显，“最佳”指我按照这样的属性和属性值将数据集一分为二后，使得分裂得到的两个子区域的误差和最小。

综上所述，回归树的计算步骤如下：

• 1）初始时，将所有训练元组放置于根节点中，计算损失函数得到误差值，倘若误差大于事先定好的参数，那么执行下面的2~4步；
• 2）选择用于分裂区域的属性A和对应的属性值s，将当前节点的数据元组划分到以下两个区域 R 1 R_1 R1​, R 2 R_2 R2​中。：
  R 1 = { X ∣ x i ≤ s } ； R 1 = { X ∣ x i > s } R_1=\{X|x_i\leq s\}；R_1=\{X|x_i>s\} R1​={X∣xi​≤s}；R1​={X∣xi​>s}

其中 x i x_i xi​为元组 X X X中属性 A A A的值。而选择分裂属性 A A A以及属性值 s s s的依据是使得分裂后的子区域误差值的和最小。即：
m i n ∑ X j ∈ R 1 ( f ( X j ) − y 1 ) 2 + ∑ X j ∈ R 2 ( f ( X j ) − y 2 ) 2 min\sum_{X_j \in R_1}(f(X_j)-y_1)^2+\sum_{X_j \in R_2}(f(X_j)-y_2)^2 minXj​∈R1​∑​(f(Xj​)−y1​)2+Xj​∈R2​∑​(f(Xj​)−y2​)2

这一步具体执行的时候，我们遍历所有的属性以及每个属性的所有可能的划分值，分别计算他们划分数据元组之后的两个子区域的代表值 y 1 , y 2 y_1,y_2 y1​,y2​，这样就可以计算 R 1 , R 2 R_1,R_2 R1​,R2​的误差和上式，最终选择误差和最小的属性 A A A和属性值 s s s，作为分裂依据。

CART回归树和CART分类树的剪枝策略除了在度量损失的时候一个使用均方差，一个使用基尼系数，算法基本完全一样，这里我们一起来讲。

由于决策时算法很容易对训练集过拟合，而导致泛化能力差，为了解决这个问题，我们需要对CART树进行剪枝，即类似于线性回归的正则化，来增加决策树的泛化能力。但是，有很多的剪枝方法，我们应该这么选择呢？CART采用的办法是后剪枝法，即先生成决策树，然后产生所有可能的剪枝后的CART树，然后使用交叉验证来检验各种剪枝的效果，选择泛化能力最好的剪枝策略。

也就是说，CART树的剪枝算法可以概括为两步，第一步是从原始决策树生成各种剪枝效果的决策树，第二步是用交叉验证来检验剪枝后的预测能力，选择泛化预测能力最好的剪枝后的数作为最终的CART树。

首先我们看看剪枝的损失函数度量，在剪枝的过程中，对于任意的一刻子树T,其损失函数为：
C α ( T t ) = C ( T t ) + α ∣ T t ∣ C_{\alpha}(T_t)=C(T_t)+\alpha|T_t| Cα​(Tt​)=C(Tt​)+α∣Tt​∣

其中， α α α为正则化参数，这和线性回归的正则化一样。 C ( T t ) C(T_t) C(Tt​)为训练数据的预测误差，分类树是用基尼系数度量，回归树是均方差度量。 ∣ T t ∣ |T_t| ∣Tt​∣是子树T的叶子节点的数量。

当 α = 0 α=0 α=0时，即没有正则化，原始的生成的CART树即为最优子树。当 α = ∞ α=∞ α=∞时，即正则化强度达到最大，此时由原始的生成的CART树的根节点组成的单节点树为最优子树。当然，这是两种极端情况。一般来说， α α α越大，则剪枝剪的越厉害，生成的最优子树相比原生决策树就越偏小。对于固定的 α α α，一定存在使损失函数 C α ( T ) C_α(T) Cα​(T)最小的唯一子树。

对于位于节点t的任意一颗子树Tt，如果没有剪枝，它的损失是：
C α ( T t ) = C ( T t ) + α ∣ T t ∣ C_{\alpha}(T_t)=C(T_t)+\alpha|T_t| Cα​(Tt​)=C(Tt​)+α∣Tt​∣

如果将其剪掉，仅仅保留根节点，则损失是：
C α ( T ) = C ( T ) + α C_{\alpha}(T)=C(T)+\alpha Cα​(T)=C(T)+α

当 α = 0 α=0 α=0或者 α α α很小时， C α ( T t ) &lt; C α ( T ) C_α(T_t)&lt;C_α(T) Cα​(Tt​)<Cα​(T) , 当 α α α增大到一定的程度时:
C α ( T t ) = C α ( T ) C_{\alpha}(T_t)=C_{\alpha}(T) Cα​(Tt​)=Cα​(T)

当α继续增大时不等式反向，也就是说，如果满足下式：
α = C ( T ) − C ( T t ) ∣ T t ∣ − 1 \alpha=\frac{C(T)-C(T_t)}{|T_t|-1} α=∣Tt​∣−1C(T)−C(Tt​)​

T t T_t Tt​ 和 T T T有相同的损失函数，但是 T T T节点更少，因此可以对子树 T t T_t Tt​进行剪枝，也就是将它的子节点全部剪掉，变为一个叶子节点T。

由上面可知：可以计算出每个子树是否剪枝的阈值α，如果我们把所有的节点是否剪枝的值α都计算出来，然后分别针对不同的α所对应的剪枝后的最优子树做交叉验证。这样就可以选择一个最好的α，有了这个α，我们就可以用对应的最优子树作为最终结果。

• 输入：CART树建立算法得到的原始决策树T。
• 输出：最优决策子树Tα。

算法如下：

• 1）初始化 α m i n = ∞ α_{min}=∞ αmin​=∞， 最优子树集合 ω = { T } ω=\{T\} ω={T}；
• 2）从叶子节点开始自下而上计算各内部节点t的训练误差损失函数 C α ( T t ) C_α(T_t) Cα​(Tt​)（回归树为均方差，分类树为基尼系数）,叶子节点数 ∣ T t ∣ |T_t| ∣Tt​∣，以及正则化阈值 α = m i n { C ( T ) − C ( T t ) ∣ T t ∣ − 1 , α m i n } α=min\{\frac{C(T)−C(T_t)}{|T_t|−1},α_{min}\} α=min{∣Tt​∣−1C(T)−C(Tt​)​,αmin​},更新 α m i n = α α_{min}=α αmin​=α；
• 3）得到所有节点的 α α α值的集合 M M M；
• 4）从M中选择最大的值 α k α_k αk​，自上而下的访问子树 t t t的内部节点，如果 C ( T ) − C ( T t ) ∣ T t ∣ − 1 \frac{C(T)−C(T_t)}{|T_t|−1} ∣Tt​∣−1C(T)−C(Tt​)​时，进行剪枝。并决定叶节点 t t t的值。如果是分类树，则是概率最高的类别，如果是回归树，则是所有样本输出的均值。这样得到αk对应的最优子树Tk；
• 5）最优子树集合 ω = ω ∪ T k ω=ω∪T_k ω=ω∪Tk​， M = M − α k M=M−{α_k} M=M−αk​；
• 6）如果M不为空，则回到步骤4。否则就已经得到了所有的可选最优子树集合ω；
• 7）采用交叉验证在ω选择最优子树 T α T_α Tα​。

决策树优点：

• 1）简单直观，生成的决策树很直观。
• 2）基本不需要预处理，不需要提前归一化，处理缺失值。
• 3）使用决策树预测的代价是O(log2m)。 m为样本数。
• 4）既可以处理离散值也可以处理连续值。很多算法只是专注于离散值或者连续值。
• 5）可以处理多维度输出的分类问题。
• 6）相比于神经网络之类的黑盒分类模型，决策树在逻辑上可以得到很好的解释
• 7）可以交叉验证的剪枝来选择模型，从而提高泛化能力。
• 8） 对于异常点的容错能力好，健壮性高。

决策树缺点：

• 1）决策树算法非常容易过拟合，导致泛化能力不强。可以通过设置节点最少样本数量和限制决策树深度来改进。
• 2）决策树会因为样本发生一点点的改动，就会导致树结构的剧烈改变。这个可以通过集成学习之类的方法解决。
• 3）寻找最优的决策树是一个NP难的问题，我们一般是通过启发式方法，容易陷入局部最优。可以通过集成学习之类的方法来改善。
• 4）有些比较复杂的关系，决策树很难学习，比如异或。这个就没有办法了，一般这种关系可以换神经网络分类方法来解决。
• 5）如果某些特征的样本比例过大，生成决策树容易偏向于这些特征。这个可以通过调节样本权重来改善。