优化的朴素方法计算n是否为素数：

即从2到n的平方根，对每一个整数判断一次n是否可以被它整除，若有这样的数字，则n为合数，若无这样的数，则n为素数。代码如下：

int is_prime(int);
int is_prime(int number) {
    int i = ;
    for (; i * i <= number; i++) {
        if (number % i == )
            return ;
    }
    return ;
}

埃拉托色尼筛法（The Sieve of Eratoshenes）:

步骤如下：
a>创建一个元素全部都被初始化为1的数组（代表真）。下标为素数的元素值最后会保持为1，而剩下的数组元素最后将被置为0。
b>从数组下标2开始（1不是素数也不是合数），每次处理首先找到一个值为1的数组元素，然后在剩余数组元素中，循环检测数组下标是否是那个值为1的元素的数组下标的倍数，若是，则将其元素值置为0。上述处理结束之后，值仍然为1的数组元素的下标就是素数。
实现如下：

void sieve();
void sieve() {
    int numbers[SIZE];
    int i = , k = ;
    for (i = ; i < SIZE; i++) numbers[i] = ;
    for (k = ; k < SIZE; k++) {
        if (numbers[k] == ) continue;
        for (i = k + ; i < SIZE; i++) {
            if (numbers[i] == ) continue;
            if (i % k == ) numbers[i] = ;
        }
    }
    for (i = ; i < SIZE; i++) if (numbers[i] == ) printf("%d\n", i);
}

结论

可以看出，对于优化的朴素方法，判断数n是否为素数的复杂度上限为 O(n1/2) $Ο(n^{1/2})$，则在小于n的数中判断其中每个数是否为素数的复杂度上限约为 O(n3/2) $Ο(n^{3/2})$。而埃拉托色尼筛法对于判断小于n的数中的素数的复杂度上限为 O(n) $Ο(n)$。分析如下：
对于第一次筛选，遍历了 n $n$个元素，剩余总共的$n/2$个元素。接着第二次筛选遍历了 n/2 $n/2$个元素，剩余 n/6 $n/6$个元素。每次筛选素数 t $t$ 的倍数，剩余元素都变成了原来剩余元素个数的 $t$ 分之一。设时间复杂度为 T(n) $T(n)$，易知， T(n)<n+n/2+n/4+n/8+...+n/2t $T(n) &lt; n + n / 2 + n / 4 + n / 8 + ...+n / 2^t$， t $t$ 为n个数里面素数的个数。即$T(n) &lt; n \times (1 - \frac {1}{2^{t+1}})$，所以 T(n)=O(n) $T(n)=Ο(n)$。