为什么我们需要引入行列式？我们先来看一个方程组：
$\begin{cases}5x+6y=7 （1）\\9x+4y=3（2）\end{cases}$

1. 行列式性质

1.1 等值性质

【1】转置，值不变

实质上是维度互换：取顺时针90度的镜面。转置一次行列式的值不变。
转置两次行列式变回原型。

【7】根据某行对行列式进行“和拆分”

$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&3\\7&8&9\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&2&3\\2&2&3\\7&8&9\end{vmatrix}$
注意根据的是某行，不是整体，其余的行需要保持不变。

【8】某一行乘以一个数加到另外一行上D值不变

这是根据【7】和【6】推出来的。

1.2 变值性质

【2】两行/列交换，值变号

交换之后要变号。为什么呢？如果按行列式的排列展开的话，假设某一项的符号 $1)^{N(1234)}$

1.3 值0性质

【3】两行/列对应相等，值为0

根据【2】得出的，交换这两行相等的行，得到D=-D。所以D=0。

【5】某行等于0，D=0

这是根据【4】推出来的，因为kD=D，所以D=0

【6】两行元素成比例，D=0

这是根据【3】和【4】推出来的。

1.4 运算性质

【4】数乘k，以行/列为一个提取单位

$\begin{vmatrix}1&2&3\\4k&5k&6k\\7&8&9\end{vmatrix}=k$

2. 行列式的展开

三阶行列式的展开
$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=aei+dhc+bfg-ceg-bdi-ahf$

2.1 排列

排列是指由多个单个有序数字所组成的数组，例如：3214，312，4732561，不缺任何一个，只是顺序不同，像5132就不是排列了。

逆序性质：对某个元素来说，满足比他小的数在他的右边叫逆序
逆序数：把元素从左到右遍历一遍，把每个元素的满足逆序的个数加起来得到的结果。例如：4213，看4：左边有3个比4小的，看2：左边有1个比他小的，看3：左边没数。所以逆序数=3+1=4个。记作：N(4213)=4
排列的奇偶性：取决于逆序数的奇偶性，分为奇排列和偶排列
标准排列：特殊的 123456…n ，有N(123456…n)=0
n级排列：是排列的数组（数组的数组），比如：【123，132，312，321，231，213】这是一个3级排列。
对换：假如对4321的32进行对换操作（交换两个数），得到4231，有N(4321)=6，N(4231)=5，可以看出，从偶排列变成了奇排列。

首先对三阶行列式进行展开：
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$

我们可以观察到三正三负，我们可以看到这样的特征：所有的行标都是123，123，123，123，…

所有的行标都是标准排列。

我们再看列标：

123 ，231，312
#############
321，213，132

上面的排列的逆序数都是偶数，下面的排列的逆序数都是奇数。和项符号关系的：逆序数偶正奇负

我们不难看出：如果按行展开的话，行标都是标准排列，列标的所有组成排列所有可能，然后每项符号通过逆序数计算出来（原则是：偶正奇负）。

2.3 列标是标准排列的展开

我们看回上面的展开，我们不难发现，实际上每一项的 $a_{xx}$

2.4 行标和列标都不是标准排列的展开

实际上，行和列没有区别的，都是维度，我们调整顺序，会发现，也是可以发现既不按行也不按列的展开。

这种一般需要记住的规律是：他们项的符号由【行标的逆序数】和【列标逆序数】的和决定

因为在按行和按列展开里面，标准排列最大的特点就是逆序数是0。

【例题】 $1)^{N(i21m)+N(1k32)}$
解：
从1k32中我们不难发现k=4，因为只有四个数，而i和m各有两种可能，要不是3，要不是4。

2.5 行列式的特殊展开

我们对于行列式用符号D来表示，对于普通的展开，我们这样子操作：由于行标是123，123，123…，我们就对每行轮流操作，然后列出列标的所有可能，然后根据列标取数，最后根据逆序数取符号。一般来说展开的行列是会有0，这样子就会减少计算量。

张量的形态

上三角（上右靠边）
下三角（下左靠边）
对角型（只有主对角线）

他们的展开都是主对角线的元素相乘

伪上三角
伪下三角
伪对角型

他们的展开都是次对角线元素相乘

2.6 按行列式的代数余子式按行/列展开

余子式
$M_{ij}$

代数余子式
$A_{ij}$

原始：
$\begin{vmatrix}1&1&0&3\\1&1&1&1\\2&2&3&4\\5&5&6&6\end{vmatrix}$

我们可以利用代数余子式对行列式进行展开。
先以某一行/列元素作为基准元素，每项是该元素乘以自己的代数余子式。
$D=\sum_{cols}^{j}A_{ij}a_{ij}$

利用代数余子式进行展开的好处是可以对行列式进行降阶。

比如我们要展开的行列式是3阶的，进行代数余子式展开之后就变成2阶的了。

在选择哪一行/列进行展开的时候，我们可以有限考虑0比较多的那一行/列进行展开，加快运算。

异乘变零定理
假如我们用某行元素和另一行元素的代数余子式相乘的话，等于0。

也就是说不和自己搭配的代数余子式相乘会遭天谴。

为什么呢？

因为代数余子式取决于元素的位置。

k阶子式
取k行，取k列，相交重复的元素组成的行列式叫做k阶子式。

原始：
$\begin{vmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{vmatrix}$

2阶子式的一种：（取第一，二行和第一二列）
$\begin{vmatrix}1&2\\5&6\end{vmatrix}$

拉普拉斯定理

取k行，取k列组成的k阶子式和对应的代数余子式积之和 = D。

这是异乘变零定理的通用版。

当k=1的时候，就是按代数余子式进行的的展开了。

4. 行列式求值

4.1 常规求值

我们知道，当行列式变成上三角/下三角/或者对角型等特殊形状的时候，可以根据主对角线元素和次对角线元素知道 $D=\sum a_{ii}$

所引，我们要根据行列式的性质对行列式进行变换，利用的是值不变和值变号的性质。

有以下几条：
【1】转置值不变
【2】交换值变号
【3】某一行乘以某个数加到另外一行值不变（最常用）

遵循这样的处理原则可以保证较少出错率：
先处理第一列，再处理第二列，第三列…

例题：

$\begin{vmatrix}1&2&3\\1&1&0\\9&9&10\end{vmatrix}$

第一步：处理第一列，目的是使第二行的首元素变成 0。第一行乘以（-1）加到第二行，乘以-9加到第三行。

其余列同理操作：

$\begin{vmatrix}1&2&3\\1&1&0\\9&9&10\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-1&-3\\0&-9&-17\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-1&-3\\0&0&10\end{vmatrix}$

假如出现首行首元素=0的情况如何处理？

应该对行列式进行转置或者交换两行变换处理。

4.2 未知数行列式求值

【1】例题（提公因式法）：

$\begin{vmatrix}x&a&a&...&a\\a&x&a&...&a\\...&...&...&...&...\\a&a&a&...&x\end{vmatrix}$

解：

观察行列式的特点，只有对角线上是x，其余都是a。注意不是对角型行列式。我们目的要把x提出行列式外面，剩下都是a好来计算。

把2…n列都加到第一列上面，会有
$\begin{vmatrix}x+(n-1)a&a&a&...&a\\x+(n-1)a&x&a&...&a\\...&...&...&...&...\\x+(n-1)a&a&a&...&x\end{vmatrix}$

把

再把第一列乘以-a，加到其余列上面去。
$(x+(n-1)a)*\begin{vmatrix}1&0&0&...&0\\1&x-a&0&...&0\\...&...&...&...&...\\1&0&a&...&x-a\end{vmatrix}$

结果： $x+(n-1)a)*(x-a)^{n-1}$

【2】例题（加边法）：

$\begin{vmatrix}1+a_1&1&1&..&1\\1&1+a_2&1&..&1\\..&..&..&..&..\\1&1&1&..&1+a_n\end{vmatrix}$

解：
外面使用 加边法 进行解决。
加边的意思是加一行，加一列，但是不改变行列式的值。（根据代数余子式的展开可知）

$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&..&..&..\\0&..&..&..\\0&..&..&..\end{vmatrix}$

变成：
$\begin{vmatrix}1&1&1&1&..&1\\0&1+a_1&1&1&..&1\\0&1&1+a_2&1&..&1\\..&..&..&..&..&..\\0&1&1&1&..&1+a_n\end{vmatrix}$

然后，根据常规的解法（依次处理第一二三…列）即可。

【3】例题（三叉型行列式求值）

$\begin{vmatrix}1&1&1&..&1\\-1&a_1&\space&\space&\space\\-1&\space&a_2&\space&\space\\-1&\space&\space&a_3&\space\\..&..&..&..&..\\-1&..&..&..&a_n\end{vmatrix}$

外面对后面的列乘以1/a 进行列加，得到：
$\begin{vmatrix}x&1&1&..&1\\0&a_1&\space&\space&\space\\0&\space&a_2&\space&\space\\0&\space&\space&a_3&\space\\..&..&..&..&..\\0&..&..&..&a_n\end{vmatrix}$

$D=x*a_1*a_2*...*a_n$

注意的是，外面还需要对a是否是0进行讨论。

假如 a 有>=1个是0，则D=0。

【4】例题（范德蒙德行列式）

$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&-1&2&3\\1&1&4&9\\1&-1&8&27\end{vmatrix}$

解：

这是范德蒙德行列式，形式如下：

$\begin{vmatrix}1&1&1&..&1\\x_1&x_2&x_3&..&x_n\\..&..&..&..&..\\(x_1)^{n-1}&(x_2)^{n-1}&(x_3)^{n-1}&..&(x_n)^{n-1}\end{vmatrix}=\prod(x_i-x_j)$

当x=1，2，3，4
x=1：(x1-x2)(x1-x3)(x1-x4)=2*(-1)(-2)=4
x=2：(x2-x3)(x2-x4)=(-3)(-4)=12
x=3：(x3-x4)=(-1)=-1
x=4：无

D=-48

【5】例题：（反对称行列式和对称行列式求值）

求以下两个行列式的值：
$\begin{vmatrix}0&1&2\\-1&0&-5\\-2&5&0\end{vmatrix}$

如果是反对称行列式，奇数阶，D=0

解：
需要注意的是反对称行列式和对称行列式的要求不一样的。

反对称行列式要求主对角线全为0
陈队行列式对于主对角线没有要求

5. 行列式的运算

5.1 行列式的乘法

需要注意的是同阶的行列式才能相乘。

如果是行列式形式的话，元素的变换：第n行元素乘以第n列元素，逐元素相乘相加得到 $A_{nm}$

如果为毛单单考究行列式的值的话，是满足： $D_1*D_2=D_3$

已知下面： $D_1=-6 \space D_2=-12\space D_3=72$

$\begin{vmatrix}1&1&1\\2&0&0\\0&0&3\end{vmatrix}*\begin{vmatrix}1&2&3\\1&3&2\\3&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}5&7&6\\2&4&6\\9&6&3\end{vmatrix}$

5.2 行列式的加减法

不一定是同型的行列式才可以进行加减，所有行列式都可以进行。

时刻记住行列式是一个数，和矩阵不同，矩阵是个数表，行列式是方阵的一个属性。

6. 克莱姆法则

克莱姆法则用于解决方程组问题，而且只能解(方程个数=未知量个数）的方程。

公式也超级简单： $x_j=\frac{D_j}{D}$

$D_j$

例子：
解方程：
$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1-x_2+5x_3=6\\-x_1+x_2+6x_3=9\end{cases}$

$D=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&5\\-1&1&6\end{vmatrix}\space D_1=\begin{vmatrix}1&1&1\\6&-1&5\\9&1&6\end{vmatrix}$

我们可以看到，当常数项都是0的时候（齐次方程）， $D_j=0$

那如果D=0的话克莱姆法则就不成立了，剩下的我们再线性方程组那章继续讨论。

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线性代数从零开始详解笔记【行列式】

行列式

0. 引言

0.1 本章知识思维导图：