已经有大量的方法证明深度生成模型能够模拟人类的想象思维，生成人类难以分辨真伪的内容，主要方法如下：

• VAE：

  比 GAN 要学习的东西更加明确，即使用 Encoder 学习数据的分布（均值和方差），使用 Decoder 基于学习到的分布训练生成器。VAE 的 Encoder 本质上就是对真实数据进行加噪，Decoder 就是在加了高斯噪声的数据上解码，相当于去掉噪声来恢复真实数据。

  VAE 其实结构和扩散模型很像，且有较好的理论可解释性，但 Encoder 使用很大的步长来学习数据分布并进行加噪，Decoder 也使用很大的步长来去噪，导致学习的不够细致，很粗糙。

• Flow-based

• GAN：用神经网络训练生成器和判别器，可解释性较差，训练时容易出现不稳定的问题

• diffusion model：

  和 VAE 的结构类似，不过是前向使用很小的步长来一步步进行加噪，逆向使用很小的步长一步步的进行去噪，比 VAE 学习的更细致

我们主要介绍扩散模型，扩散模型背后的直觉来源于物理学：

• 在物理学中，气体分子从高浓度区域扩散到低浓度区域
• 这与由于噪声的干扰而导致的信息丢失是相似的
• 通过引入噪声，然后尝试去噪来生成图像，模型每次在给定一些噪声输入的情况下学习生成新图像。

扩散模型可以用到哪些任务上：

• 计算机视觉
• 语言模型
• 声音模型
• AI for science

扩散模型的应用场景：

• 图文生成
• 视频生成
• 分子结构生成
• AI 绘画
• AI 制药
• …

扩散模型的工作原理：

• 学习由于噪声引起的信息衰减，然后使用学习到的模式来生成图像

扩散模型的结构：

• 扩散模型定义了一个扩散步骤的马尔可夫链，慢慢地向数据中添加随机噪声，也就是熵增的过程，然后学习逆向扩散过程，从噪声中构建所需的数据样本
• 前向扩散过程 q q q：为输入图像 x 0 x_0 x0​ 引入一系列的随机噪声，也就是对样本点分 T 步添加高斯噪声，随着噪声的引入， x 0 x_0 x0​ 最终会失去区分特性
• 逆向恢复过程 p p p：从高斯先验出发，从有大量随机噪声的图中学习恢复原图

扩散模型相比 GAN 或 VAE 的缺点：

• 速度慢：扩散模型是基于马尔科夫过程来实现的，在训练和推理的时候都需要很多步骤

马尔可夫模型有两个假设：

• 系统在 t t t 时刻的状态只与 t − 1 t-1 t−1 时刻的状态有关，也称无后效性
• 状态转移概率与时间 t t t 无关，只与前驱和后继的状态有关，也称齐次性或时齐性

1、无后效性

具有马尔科夫性质的状态满足下面公式：

P ( S t + 1 ∣ S t ) = P ( S t + 1 ∣ S 1 , . . . , S t ) P(S_{t+1}|S_t)=P(S_{t+1}|S_1,...,S_t) P(St+1​∣St​)=P(St+1​∣S1​,...,St​)

上述公式的意义：

• 给定当前状态 S t S_t St​，将来的状态 S t + 1 S_{t+1} St+1​ 和 t t t 时刻之前的状态 { S 1 , . . . , S t − 1 } \{S_1, ..., S_{t-1} \} {S1​,...,St−1​} 已经没有关系，只和当前的状态 S t S_t St​ 有关系。
• 当前的状态 S t S_t St​ 中已经包括了历史的相关信息，所以之前的状态可以忽略

2、齐次性

对状态 s s s 和后继状态 s ′ s' s′，状态转移概率定义为：
P s s ′ = P [ S t + 1 = s ′ ∣ S t = s ] P_{ss'}=P[S_{t+1}=s'|S_t=s] Pss′​=P[St+1​=s′∣St​=s]

状态转移矩阵 P 定义了从 s s s 转移到后继状态 s ′ s' s′ 的概率：

其中的每行和为1：

• 比如掷骰子游戏，当前的点数为1

• 再一次掷骰子得到的点数的概率，即使我们不知道下一个具体点数的概率，但是我们知道下一个点数是1，2，3，4，5，6中的某一点，那么就会有：

  

马尔可夫过程：

马尔科夫过程一个无记忆的随机过程，是一些具有马尔科夫性质的随机状态序列构成，可以用一个元组 <S,P> 表示：

• S 是有限数量的状态集合
• P 是状态转移概率矩阵， P s s ′ = P [ S t + 1 = s ′ ∣ S t = s ] P_{ss'}=P[S_{t+1}=s'|S_t=s] Pss′​=P[St+1​=s′∣St​=s]

1、State：状态

State 是能够描述整个扩散模型过程的一系列数据：

• 初始状态：starting state x 0 x_0 x0​
• prior state：离散时为 x T x_T xT​，连续时为 x 1 x_1 x1​
• 中间状态：intermediate state x t x_t xt​

2、Process 和 Transition Kernel

• Forward/Diffusion 过程 F F F：将初始状态转换到有噪声的状态
• Reverse/Denoised 过程 R R R：和前向过程方向相反，从有噪声的图像中逐步复原原图的过程
• Transition Kernel：在上面的两个过程中，每两个 state 的变换都是通过 transition kernel 来实现的，

前向和逆向的过程如下所示：

对于非离散情况，任何时间 0 < = t < s < 1 0<=t<s<1 0<=t<s<1 的前向过程如下：

• F t F_t Ft​ 和 R t R_t Rt​ 分别是 t t t 时刻从状态 x t − 1 x_{t-1} xt−1​ 转换成状态 x t x_t xt​ 的前向 transition kernel 和逆向 transition kernel
• σ t \sigma_t σt​ 是噪声尺度
• 最常用的 transition kernel 是 Markov kernel，因为其具有较好的任意性和可控性

3、Pipeline：

假设定义 sampled data 为 x ~ 0 \widetilde{x}_0 x 0​，则整个过程可以描述如下：

4、离散和连续过程

与离散过程相比，连续过程能够从任何时间状态中提取任何信息

如果扰动核的变化足够小，则连续过程有更好的理论支撑

5、训练目标

扩散模型是生成模型的一个子类，和 VAE 的目标函数类似，目标是让初始分布 x 0 x_0 x0​ 和采样分布 x ~ 0 \widetilde{x}_0 x 0​ 尽可能的接近。

通过最大化如下 log-likelihood 公式来实现，其中 σ ~ \widetilde{\sigma} σ 在前向和逆向过程中是不同的：

1、Denoised Diffusion Probabilistic Model（DDPM）：去噪扩散概率模型

NIPS 2021 的论文 ‘Denoising diffusion probabilistic models’ 中对扩散概率模型进行了改进，提出了 DDPM：

• 使用固定的方差回归均值
• 用和噪声表示，通过均值预测网络重参数化，将关于均值的差改写为噪声预测网络与噪声的差，将目标函数改写为噪声预测的方式
• 对高斯噪声进行回归预测
• 对扩散模型的架构也进行了相应的改进，使用 U-Net 形式的架构，引入了跳跃连接，更适合于像素级别的预测任务

DDPM Forward Process：

• DDPM 使用一系列的噪声系数 β 1 \beta_1 β1​、 β 2 \beta_2 β2​ … β T \beta_T βT​ 作为不同时刻的 Markov trasition kernel。

• 一般都使用常数、线性规则、cosine 规则 来选择噪声系数，而且 [68] 中也证明了不同的噪声系数在实验中也没有明显的影响

• DDPM 的前向过程定义如下：

  

• 根据从 x 0 x_0 x0​ 到 x T x_T xT​ 的扩散步骤， Forward Diffusion Process 如下：

  

DDPM Reverse Process：

• 逆向过程使用可学习的 Gaussian trasition 参数 θ \theta θ 来定义如下：

  

• 逐步从 x T x_T xT​ 复原到 x 0 x_0 x0​ 的过程如下，假设过程为 p ( x T ) = N ( x T ;   0 , I ) p(x_T) = N(x_T;\ 0, I) p(xT​)=N(xT​; 0,I)：

  

• 所以， p θ ( x 0 ) = ∫ p θ ( x 0 : T ) d x 1 : T p_{\theta}(x_0)=\int p_{\theta}(x_{0:T})dx_{1:T} pθ​(x0​)=∫pθ​(x0:T​)dx1:T​ 的分布就是 x ~ 0 \widetilde{x}_0 x 0​ 的分布

Diffusion Training Objective：为了最小化 negative log-likelihood (NLL)，则最小化问题转换为：

• L T L_T LT​：prior loss
• L 0 L_0 L0​：reconstruction loss
• L 1 ： T − 1 L_{1：T-1} L1：T−1​：consistent loss

下图是 PPDM 的 pipeline：

2、Score Matching Formulation

score matching 模型是为了解决原始数据分布的估计问题，通过近似数据的梯度 ∇ x l o g p ( x ) \nabla_xlogp(x) ∇x​logp(x) 来实现，这也称为 score。

两个相邻状态的 transition kernel 为：

Score matching 过程：

score matching 的核心是训练一个得分估计网络 s θ ( x , σ ) s_{\theta}(x, \sigma) sθ​(x,σ) 来预测得分。

DSM：

尽管扩散模型目前取得了很好的生成效果，到其逐步去噪的过程涉及非常多的迭代步骤，故此扩散模型的加速是很重要的研究课题。