标准正态分布对给定显著水平的分位点。设 X X X~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)，显著水平为 α \alpha α。为计算右侧分位点 z α z_{\alpha} zα（见下图），使得
P ( X ≤ z α ) = 1 − α P(X\leq z_\alpha)=1-\alpha P(X≤zα)=1−α
由标准正态分布密度函数 φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} φ(x)=2π1e−2x2关于纵轴的对称性，对给定的显著水平 α \alpha α，左侧分位点为右分位点关于原点的对称点 − z α -z_\alpha −zα（见下图）。
对显著水平 α \alpha α，为计算标准正态分布的双侧分位点（关于原点对称，如下图所示） − z α / 2 -z_{\alpha/2} −zα/2和 z α / 2 z_{\alpha/2} zα/2，使得
P ( − z α / 2 ≤ X ≤ z α / 2 ) = 1 − α P(-z_{\alpha/2}\leq X\leq z_{\alpha/2})=1-\alpha P(−zα/2≤X≤zα/2)=1−α
我们知道scipy.stats包中连续型分布类 rv_continuous的norm对象，当参数loc和scale取默认值0和1时，即表示标准正态分布。下列表格列出了标准正态分布的用于计算分位点的函数的参数意义。
| 函数名 | 参数 | 意义 |
|---|---|---|
| ppf | q：表示显著水平 α \alpha α | 左分位点 − z α -z_{\alpha} −zα |
| isf | q：与上同 | 右分位点 z α z_{\alpha} zα |
| interval | alpha：表示置信水平 1 − α 1-\alpha 1−α | 分位点 − z α / 2 -z_{\alpha/2} −zα/2和 z α / 2 z_{\alpha/2} zα/2 |
对指定的实数 0 < α < 1 0<\alpha<1 0<α<1，尽管根据上述讨论知，左、右分位点可分别调用ppf（分布函数的反函数）及isf（残存函数的反函数）算得，但由于标准正态分布的密度函数 φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} φ(x)=2π1e−2x2是关于纵轴对称的，所以对同一个 α \alpha α，左、右分位点是关于原点对称的（由以上各图可见）。因此，我们可仅调用isf计算右分位点 z α z_{\alpha} zα，其相反数 − z α -z_{\alpha} −zα即为左分位点。由于表示标准正态分布的参数loc和scale取默认值，所以计算分位点时，所调用的isf函数只需传递一个表示 α \alpha α的参数q。norm对象的interval函数的参数alpha表示随机变量落在左右分位点界定的区间内的概率值，也就是上述正文中表示的 1 − α 1-\alpha 1−α。
例1 设显著水平 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05，计算标准正态分布的单侧左、右分位点 − z 0.05 -z_{0.05} −z0.05， z 0.05 z_{0.05} z0.05和双侧左、右分位点 − z 0.025 -z_{0.025} −z0.025， z 0.025 z_{0.025} z0.025。
解：下列代码完成本例的计算。
from scipy.stats import norm #导入norm
alpha=0.05 #设置alpha
b=norm.isf(q=alpha) #计算单侧右分位点
a=-b #单侧左分位点
print('单侧左、右分位点：a=%.4f,b=%.4f'%(a, b)) #输出精确到万分位
a, b=norm.interval(1-alpha) #计算双侧分位点
print('双侧左、右分位点：a=%.4f,b=%.4f'%(a, b)) #输出精确到万分位
运行程序，输出
单侧左、右分位点：a=-1.6449, b=1.6449
双侧左、右分位点：a=-1.9600, b=1.9600
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