1.what is decision tree

所谓决策树，就是一个类似于流程图的树形结构,树内部的每一个节点代表的是对一个属性的测试，树的分支代表该属性的每一个测试结果，而树的每一个叶子节点代表一个类别。

在决策树中，所有的特征均为符号值，即离散值。如果某个特征的值为连续值，那么需要先将其离散化。

从根节点到叶节点的一条路径就形成对相应对象的类别预测，目的是希望决策树的分支节点所包含的样本尽可能属于同一类别，即节点的纯度越来越高。建立决策树的关键就在于在当前状态下选择哪个属性作为分类依据。

决策树大概有三个版本：ID3  C45  和  CART。

后来看到其他博客后的补充：通俗直白永不忘记的解释决策树（转载）

1.决策树是什么？

有一堆人，让你分出男女，你依靠头发长短分类，这就形成了一个简单的决策树。

2.划分依据是什么？

那你就提出疑问，为啥用头发，用鞋子也可以啊，‘是否穿高跟鞋’，或者‘有木有喉结’，等等来划分。当然可以啊，随意啊，哪一种效果好，就用哪一种啊

3.怎么样就是效果好？如何评价量化？

怎么判断“头发长短”或者“是否有喉结”…是最好的划分方式，效果怎么量化。很简单嘛，根据某个特征分类后，纯度越高则越好，比如说你分为两群，“女”那一群都是女的，“男”那一群全是男的，这个效果是最好的。那总得有个什么概率啊，数字什么的来量化纯度高低，这就有了信息增益（ID3）、信息增益率（C4.5）、基尼系数（CART）等等，来用来量化纯度

总结：决策树就是依靠某种指标进行树的分裂达到分类/回归的目的（上面的例子是分类），总是希望纯度越高越好。

ID3：采用信息熵指标度量样本集合的纯度，使用信息增益作为分类依据。

熵：通俗的讲，用来表征事物的混乱程度。值域[0,1]，熵越小表示越有序，熵越接近1表示越无序。

 

信息增益

 

 

 

 

信息量 
信息量是对信息的度量，信息的大小跟随机事件的概率有关。一个随机事件的信息量的大小与其发生概率成反相关。

香农定义的一个事件的信息量为： 

I(X)=log2(1/p)

信息熵 
信息熵是度量样本集合纯度最常用的指标。假定当前样本集合 D 中第 k类样本所占比例为 pk，则D 的信息熵的定义就是 D的加权信息量。

 

Ent(D)=∑i−1KPkI(xk)=−∑i−1KPklog2(Pk)

熵越小纯度越高

 

信息增益 
在划分数据集之前和之后信息发生的变化称为信息增益。 假定离散属性aa有VV个可能取值 a1,a2,...,av，若用aa对样本集D进行划分，则会产生v个分支节点，记每个分支样本集合为Dv，可以计算出Dv的信息熵，再考虑不同分支节点样本数不同，给分支赋予权重|Dv|/|D|,可以计算出用属性a对样本集D进行划分所获得的信息增益： 

Gain(D,a)=Ent(D)−∑v=1V|Dv||D|Ent(Dv)

知道如何计算信息增益，我们就可以计算每个特征值划分数据集获得的信息增益，获得信息增益最高的特征就是最好的选择。

基于信息增益准则对可取值数目较多的属性有所偏好

算法如下：

1.从根节点开始，若一个节点内所有节点都属于同一类别，那么该节点成为叶子节点。

2.否则，利用信息增益法来选择对样本的划分特征。

3.递归上述划分子集产生叶节点的过程，这样每一个子集都会产生一个决策树，直到所有节点变成叶结点。

递归停止的条件：

1.一个节点中所有的样本均为同一类别，那么产生叶节点

2.没有特征可以用来对该节点样本进行划分，此时也强制产生叶节点，该节点的类别为样本个数最多的类别。

3.没有样本能满足剩余特征的取值，此时也强制产生叶节点，该节点的类别为样本个数最多的类别。

如下例子：

 

C45：使用信息增益率作为划分依据

因为ID3使用的信息增益对可取值数目较多的属性有所偏好，比如使用序号作为划分依据效果很好。

 

增益率

 

Gain_ratio(D,a)=Gain(D,a)IV(a),IV(a)=−∑v=1V|Dv||D|log2(|Dv||D|)

基于信息增益率准则对可取值数目较少的属性有所偏好。所以C4.5 先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率最高的。

 

          I(s1j,s2j,…,smj)=−∑i=1mpij∗log(pij)

I(s1,s2,…,sm)=−∑i=1mpi∗log(pi)

 

CART：使用基尼指数作为分类依据。（分类回归树）

CART既可以用于回归也可以用于分类，事实上分类与回归是一样的，分类的结果是离散值，回归是连续值，本质是一样的，都是特征（feature）到结果/标签（label）的映射。

那怎么区别呢？

分类树的样本输出是类的形式，如判断蘑菇是有毒或者无毒，周末是否出去看电影，属于是否问题。

回归树的样本输出是数值的形式，比如给某人发放房屋贷款的数额就是具体的数值，可以是0到120万元之间的任意值。

基尼指数（分类）

Gini(D)=∑k=1|y|=1−∑k=1|y|p2k

反映从数据 D中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概率。越小越纯。属性 a的基尼指数定义为 

Gini_index(D,a)=∑v=1V|Dv||D|Gini(Dv)

 

树枝修剪

由于噪声等因素的影响，会使得样本某些特征的取值与样本自身的类别不相匹配的情况，基于这些数据生成的决策树的某些枝叶会产生一些错误；尤其是在决策树靠近枝叶的末端，由于样本变少，这种无关因素的干扰就会突显出来；由此产生的决策树可能存在过拟合的现象。树枝修剪就是通过统计学的方法删除不可靠的分支，使得整个决策树的分类速度和分类精度得到提高。 
树枝修剪包括事先修剪和事后修剪两种方法： 
（1）事前修剪方法：在决策树生成分支的过程，除了要进行基础规则的判断外，还需要利用统计学的方法对即将分支的节点进行判断， 如果一个节点的训练实例树小于训练集的某个比例，比如5%，无论是否不纯或是有错误，都不再进一步分裂，因为基于过少实例的决策树会导致方差太大，从而泛化误差较大。
（2）事后修剪方法：在决策树充分生长后，修剪掉多余的分支。根据每个分支的分类错误率及每个分支的权重，计算该节点不修剪时预期分类错误率；对于每个非叶节点，计算该节点被修剪后的分类错误率，如果修剪后分类错误率变大，即放弃修剪；否则将该节点强制为叶节点，并标记类别。产生一系列修剪过的决策树候选之后，利用测试数据（未参与建模的数据）对各候选决策树的分类准确性进行评价，保留分类错误率最小的决策树。 
除了利用分类错误率进行树枝修剪，也可以利用决策树的编码长度进行修剪。所谓最佳决策树是编码长度最短的决策树，这种修剪方法利用最短描述长度（MDL）原则来进行决策树的修剪。该方法基于的思想是：最简单的就是最好的。