ID3决策树
ID3决策树分类的根据是样本集分类前后的信息增益。
假设我们有一个样本集，里面每个样本都有自己的分类结果。
而信息熵可以理解为：“样本集中分类结果的平均不确定性”，俗称信息的纯度。
即熵值越大，不确定性也越大。
不确定性计算公式
假设样本集中有多种分类结果，里面某一种结果的“不确定性”计算公式如下
其中
x：为按照某特征分类后的第x种分类结果
p(x)：表示该分类结果样本集在总样本集中的所占比例。
Dx：表示样本结果为x的样本数量。
D：表示样本的总数量
可看出某一种分类结果在总样本集中所占比例越少，其“不确定性”也越大。
信息熵计算公式
样本集的熵，就是他所有分类结果的平均不确定性，即所有分类结果不确定性求期望。公式如下：
说白了，就是算出整个样本集中每一个分类结果的不确定性，然后求一个期望值，就作为这整个样本集的熵值。
信息熵增益
熵越大表示事件变数越多，我们要做的就是每一次分类都让事件集变的最稳定。所以当我们选择某一个特征进行分类后，样本集分类前后的熵的减小量就是熵的增益。
ID3算法的核心就是计算按照每一种特征分类后，其熵差大小，选择能使熵差最大的特征作为分类特征。
分类前的熵就是集群整个的熵。
分类后的熵其实是所有分类后的小样本集的熵的期望。
ID3算法缺陷
1、抗噪声性差，如果数据样本数量太少或噪声太大，就会产生过拟合的问题。
样本少，其树的构成基本上就是为少数样本量身定做的树，如果噪声太大，或样本少且有噪声的话，很多树枝都是噪声拟合出来的。
2、在选择最优特征时，很容易倾向于选择“特征值种类较多”的特征，作为分类特征。
我们举个极端点的例子，假设有100个样本集，现在有一个特征其数值种类也是100，如果按该特征分类，就能把这个样本集分成100份，每份一个样本。在用ID3算法做决策树时，肯定会选择这个特征作为第一个最优特征，因为这个特征分出来的样本集每一个纯度都是最高。
3、无法处理特征值为连续型数据的特征。（不过可以考虑把连续型数据转化成离散型数据）
即，可以处理像性别特征、boolen特征等离散型特征，但没法处理特征值在某个区间内可以任意取值的特征，如身高特征、年龄特征。
C4.5决策树
针对上面说的ID3算法的第二个缺点“最优特征选择倾向于特征种类较多的特征”。
我们先来看下特征种类较多时，分类会发生什么。
假设都是均分100个样本，
特征值有2种的特征会把样本集分成50和50.
特征值为4种的特征会把样本集分成25、25，25，25.
可见特征值越多，就会产生越多的“小数目”样本集，而小数目样本集在分类效果上是不如大样本集好的（如过拟合、抗噪差等问题），所以对于某特征分类后会产生“小数目”样本集的分类后的熵，我们需要有一个惩罚值，即：分类后产生的样本集越小，它的熵值也要惩罚性的增大。
这样虽然ID3算法中会因为很多分类后的小数量样本集而产生低值的期望熵，但做惩罚值处理后，熵值就会平衡性的增大。
信息增益率
在C4.5中惩罚小数量样本集的做法是，
在根据某特征分类，并计算出分类前后的熵差后，再计算该特征的惩罚值，用该分类特征的熵差除以惩罚值得出“信息增益率”，使信息增益率越大的特征，就是最优特征。即：
其中惩罚值实际上就是“信息熵”，只不过这里的信息指的不是计算信息增益时“样本集中分类结果的平均不确定性”，而是“总样本集中分类后子样本集数目的平均不确定性”，即：
其中：
D：分类前的总样本数量。
i：按某特征分类后样本子集序号。
Di：按某特征分类后的第i个子集的数量。
由此看出，样本数量越少，惩罚值越大，相除后的信息增益率也就越小，依此做到了一定的平衡，由于“惩罚”了小样本数量集，其由于数量少带来信息增益抗噪性差的问题也得到一定程度的解决。
这就是C4.5算法最大的好处，解决了ID3算法第二个缺陷，缓解了ID3算法的第一个缺陷。
不过ID3算法的第三个不能处理连续型特征数据的问题。C4.5算法本身也不能直接处理连续数据。
另外C4.5和ID3算法还有一个特点，这俩算法的根本其实都要计算信息增益，而信息增益的一个大前提就是要先进行分类，然后才能计算增益，所以每计算一次增益也就代表进行了一次分类，分类用了的特征接下来就不能再用了，所以ID3和C4.5算法在分类时会不断消耗特征。
CART决策树
简单来讲就是，有一个类似于熵的指标叫Gini指数，其代表了分类结果的不确定性，所以自然是越小越好。
每次分类前计算分类前后的Gini指数，求差得出“Gini指数增益”，能使Gini指数增益最大的特征就是最优特征。
需要注意的是，CART算法分类时，即使特征有大于两个特征值，也还是会把样本集分成两类，最后形成的是标准二叉树。
Gini指数
首先计算分类前样本集的Gini指数，Gini指数想表达的东西和信息熵类似，都是想表达样本集分类结果的不确定性，Gini指数或熵越大，表示样本集分类结果不确定性也越大。
假设样本集数量为D，分类结果有n种，Dk表示总样本集中分类结果为第k种的样本数量。
那么从总样本集中选出分类结果为k的样本的概率为：
选出分类结果为k的样本的不确定性（即选出分类不为k的样本概率）为：
而总样本集的分类结果不确定性，就是计算n种分类结果的不确定性，然后取期望：
这个公式就是样本集的Gini指数，用于表达样本集分类结果的不确定性，Gini指数越大样本集越不确定，化简后得：
按照某特征分类后的Gini指数为，分类后各样本集Gini指数求期望，
假设分类前总样本集数量为D，按特征分类后得到两堆样本集数量分别为S1和S2（由于CART算法生成二叉树的特性，所以只能分成两堆），则样本集分类后的Gini指数为：
如果特征值大于两个，则列出所有可能的分类情况，依次分类并计算各分类后的Gini指数，选择分类后Gini指数最小的分类情况作为特征的分类方法。
如，特征有a,b,c三个特征值，
则可能的分类方法有：（a,(b,c)）,（b,(a,c)）,（c,(a,b)）
假设（b,(a,c)）这种分类方式分类后的Gini指数最小，则按照特征值为b的分为第一个树枝，特征值为a或c的分为第二个树枝，
第一个树枝里该特征只有b特征值，则后续分类时不需要再考虑该特征。
第二个树枝里该特征中还有a和c两种特征值，需要注意的是“后续分类时还是要考虑该特征，且特征值为a和c”。
Gini指数增益
最终，样本集D，按照某特征分类出S1样本集和S2样本集后，其Gini指数增益为：
选取能使Gini指数增益最大的特征分类作为最优特征分类。
CART和C4.5算法区别
1.C4.5本质上还是基于信息熵得出的信息增益比，而CART算法的分类树是基于Gini指数得出的Gini指数增益。
2.CART是一颗二叉树，而C4.5算法没有这个特点。这是因为在进行特征分类上，C4.5算法每次选择一种特征进行分类后，每一个特征值都是一个树枝。而CART算法每次分类会把特征的所有特征值分成两堆，符合A堆里面的特征值的样本算A分支，符合B堆特征值的样本算B特征。
3.基于第二点不同，我们可看出C4.5算法每选择一个特征按各个特征值分类后，接下来的分类就不会再考虑该特征了（因为该特征已按特征值彻底划分完了）。而CART算法是把特征值分成两堆，假设有abcd四个特征，经过Gini增益计算后，ab为1堆，cd为2堆，那么按照此分类后1堆和2堆该特征都没有被完全划分，1堆样本还能对a和b特征值再进行划分。
所以CART算法的特征在分类过程中可能重复出现，而C4.5只能出现一次。
连续型特征离散化
连续型数据离散化的方法很多，最易懂的就是凭经验离散化，
比如一批样本集里有身高特征(cm)，样本的数值有：162,164,165,166,168,170,173,180
这个时候我们就可以凭借经验或者想要统计的结果，对这组连续数据划分一个离散范围，如设定小于165的是一类，165到170的是一类，大于170的是一类，这样就把连续数据离散化成一个范围判断了。
但凭借经验进行范围划分明显不靠谱，
我们可以利用ID3、C4.5、CART这些算法，将连续数据离散化。
简单来讲思路就是：
依次设立划分点，然后数值小于该划分点的数据分为一类，大于的分为另一类。
分别计算根据各个划分点分类前后的信息增益(ID3)或信息增益率(C4.5)或Gini指数增益(CART)，选出使得增益达到最大的划分点作为分类特征值。
至于划分点的选择，一般是将所有连续数值从小到大排序，每两点间取平均数建立一次划分点进行分类，并计算信息增益或信息增益率。