指数平滑法对于预测来说是非常有帮助的，而且它对时间序列上面连续的值之间相关性没有要求。但是，如果你想使用指数平滑法计算出预测区间， 那么预测误差必须是不相关的， 而且必须是服从零均值、 方差不变的正态分布。即使指数平滑法对时间序列连续数值之间相关性没有要求，在某种情况下， 我们可以通过考虑数据之间的相关性来创建更好的预测模型。自回归移动平均模型（ ARIMA） 包含一个确定（explicit） 的统计模型用于处理时间序列的不规则部分，它也允许不规则部分可以自相关。

首先，先确定数据的差分。

ARIMA 模型为平稳时间序列定义的。 因此， 如果你从一个非平稳的时间序列开始， 首先你就需要做时间序列差分直到你得到一个平稳时间序列。如果你必须对时间序列做 d 阶差分才能得到一个平稳序列，那么你就使用ARIMA(p,d,q)模型，其中 d 是差分的阶数。 

我们以每年女人裙子边缘的直径做成的时间序列数据为例。从 1866 年到 1911 年在平均值上是不平稳的。 随着时间增加， 数值变化很大。  

> skirts <- scan("http://robjhyndman.com/tsdldata/roberts/skirts.dat",skip=5)

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> skirtsts<- ts(skirts,start = c(1866))

 

> plot.ts(skirtsts)

我们可以通过键入下面的代码来得到时间序列（数据存于“skirtsts”） 的一阶差分， 并画出差分序列的图:

> skirtstsdiff<-diff(skirtsts,differences=1)

 

> plot.ts(skirtstsdiff)

从一阶差分的图中可以看出，数据仍是不平稳的。我们继续差分。

> skirtstsdiff2<-diff(skirtsts,differences=2)

> plot.ts(skirtstsdiff2)

二次差分（上面）后的时间序列在均值和方差上确实看起来像是平稳的， 随着时间推移， 时间序列的水平和方差大致保持不变。因此， 看起来我们需要对裙子直径进行两次差分以得到平稳序列。

第二步，找到合适的ARIMA模型

 如果你的时间序列是平稳的，或者你通过做 n 次差分转化为一个平稳时间序列， 接下来就是要选择合适的 ARIMA模型，这意味着需要寻找 ARIMA(p,d,q)中合适的 p 值和 q 值。为了得到这些，通常需要检查[平稳时间序列的（自）相关图和偏相关图。 

 我们使用 R 中的“acf()”和“pacf” 函数来分别（ 自） 相关图和偏相关图。“acf()”和“pacf 设定“plot=FALSE” 来得到自相关和偏相关的真实值。 

> acf(skirtstsdiff2,lag.max=20)

 

> acf(skirtstsdiff2,lag.max=20,plot=FALSE)

Autocorrelations of series ‘skirtstsdiff2’, by lag

     0      1      2      3      4      5      6      7      8      9     10 

 1.000 -0.303  0.096  0.009  0.102 -0.453  0.173 -0.025 -0.039  0.073 -0.094 

    11     12     13     14     15     16     17     18     19     20 

 0.133 -0.089 -0.027 -0.102  0.207 -0.260  0.114  0.101  0.011 -0.090 

自相关图显示滞后1阶自相关值基本没有超过边界值，虽然5阶自相关值超出边界，那么很可能属于偶然出现的，而自相关值在其他上都没有超出显著边界， 而且我们可以期望 1 到 20 之间的会偶尔超出 95%的置信边界。  

> pacf(skirtstsdiff2,lag.max=20)

> pacf(skirtstsdiff2,lag.max=20,plot=FALSE)

Partial autocorrelations of series ‘skirtstsdiff2’, by lag

     1      2      3      4      5      6      7      8      9     10     11 

-0.303  0.005  0.043  0.128 -0.439 -0.110  0.073  0.028  0.128 -0.355  0.095 

    12     13     14     15     16     17     18     19     20 

 0.052 -0.094 -0.103 -0.034 -0.021 -0.002  0.074  0.020 -0.034 

偏自相关值选5阶。

故我们的ARMIA模型为armia（1,2,5）

> skirtsarima<-arima(skirtsts,order=c(1,2,5))

> skirtsarima

SSeries: skirtsts 

ARIMA(1,2,5)                    

Coefficients:

          ar1     ma1     ma2     ma3     ma4      ma5

      -0.4345  0.2762  0.1033  0.1472  0.0267  -0.8384

s.e.   0.1837  0.2171  0.2198  0.2716  0.1904   0.2888

sigma^2 estimated as 206.1:  log likelihood=-183.8

AIC=381.6   AICc=384.71   BIC=394.09

预测后5年裙子的边缘直径

>  skirtsarimaforecast<-forecast.Arima(skirtsarima,h=5,level=c(99.5))

> skirtsarimaforecast

     Point Forecast  Lo 99.5  Hi 99.5

1912       548.5762 507.1167 590.0357

1913       545.1793 459.3292 631.0295

1914       540.9354 396.3768 685.4940

1915       531.8838 316.2785 747.4892

1916       529.1296 233.2625 824.9968

> plot.forecast(skirtsarimaforecast$residuals)   #谢谢@忆水如烟的指正

第三步，检验

在指数平滑模型下， 观察 ARIMA 模型的预测误差是否是平均值为 0 且方差为常数的正态分布（服从零均值、方差不变的正态分布） 是个好主意，同时也要观察连续预测误差是否（自）相关。  

> acf(skirtsarimaforecast$residuals,lag.max=20)

> Box.test(skirtsarimaforecast$residuals, lag=20, type="Ljung-Box")

        Box-Ljung test

data:  skirtsarimaforecast$residuals 

X-squared = 8.5974, df = 20, p-value = 0.9871

既然相 关图显示出在滞后1 - 20阶（ l a g s 1 - 20 ）中样本自相关值都没有超出显著（置信）边界，而且Ljung-Box检验的p值为0.99，所以我们推断在滞后1-20阶（lags1-20）中没明显证据说明预测误差是非零自相关的。 

为了调查预测误差是否是平均值为零且方差为常数的正态分布（服从零均值、方差不变的正态分布），我们可以做预测误差的时间曲线图和直方图（具有正态分布曲线）：

> plot.ts(skirtsarimaforecast$residuals)

> plotForecastErrors(skirtsarimaforecast$residuals)

上图预测中的时间曲线图显示出对着时间增加，方差大致为常数（大致不变）（尽管上半部分的时间序

列方差看起来稍微高一些）。时间序列的直方图显示预测误大致是正态分布的且平均值接近于 0（服从零均值的正态分布的）。因此，把预测误差看作平均值为0方差为常数正态分布（服从零均值、方差不变的正态分布）是合理的。 

 

既然依次连续的预测误差看起来不是相关，而且看起来是平均值为 0 方差为常数的正态分布（服从零均值、方差不变的正态分布），那么对于裙子直径的数据， ARIMA(1,2,5)看起来是可以提供非常合适预测的模型。 

至此，时间序列的学习结束